Divisions euclidiennes par 11 - Corrigé

Énoncé

Soit $a$ , $b\in \mathbb{N}$ tels que $a=11b+30$ . Écrire la division euclidienne :

1. de $a$ par $11$ ;

2. de $-a$ par $11$ ;

3. de $2a+9$ par $11$ .

Solution

1. On remarque que :  $a=11b+30=11b+22+8=11(b+2)+8$ avec $0⩽8<11$ , donc la division euclidienne de $a$ par $11$ s'écrit : $a=11(b+2)+8$  (ici $q=b+2$ et $r=8$ ).

2. On remarque que :  $-a=-11b-30=-11b-33+3=11(-b-3)+3$ avec  $0⩽3<11$ , donc la division euclidienne de $-a$ par $11$ s'écrit : $a=11(-b-3)+3$  (ici $q=-b-3$ et $r=3$ ).

3. On a :  $\begin{array}{r}2a+9=2(11b+30)+9=22b+60+9=22b+69.\end{array}$ On remarque que : $2a+9=22b+69=22b+66+3=11(2b+6)+3$   avec $0⩽3<11$ , donc la division euclidienne de $2a+9$ par $11$ s'écrit : $a=11(2b+6)+3$  (ici $q=2b+6$ et $r=3$ ).